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© Universidad Nacional de Colombia - Sede Bogotá

Facultad de Ingeniería, Departamento de Ingeniería de Sistemas e Industrial

© Vicerrectoría de Sede Bogotá

Dirección de Investigación y Extensión - DIEB

© Vicerrectoría de Investigación

Editorial Universidad Nacional de Colombia

© Tito Flórez Calderón

Primera edición, noviembre de 2016
ISBN 978-958-775-831-3 (papel)
ISBN 978-958-775-833-7 (IBD)
ISBN 978-958-775-832-0 (digital)

Colección Ingenio Propio
Facultad de Ingeniería

Edición
Editorial Universidad Nacional de Colombia
direditorial@unal.edu.co
www.editorial.unal.edu.co

Diseño de la colección: Ángela Pilone Herrera
Diagramación: Olga Lucía Cardozo Herreño

Salvo cuando se especifica lo contrario, las figuras y tablas
del presente volumen son propiedad del autor

Bogotá, D. C., Colombia, 2016

Prohibida la reproducción total o parcial por cualquier medio sin la autorización escrita del titular de los derechos patrimoniales

Catalogación en la publicación Universidad Nacional de Colombia

Flórez Calderón, Tito, 1953-

Métodos numéricos que debes saber / Tito Flórez Calderón.-- Primera edición. -- Universidad Nacional de Colombia (Sede Bogotá). Facultad de Ingeniería. Departamento de Ingeniería de Sistemas e Industrial, 2016. 332 páginas : ilustraciones, gráficas. -- (Colección Ingenio Propio)

Incluye referencias bibliográficas e índice analítico
ISBN 978-958-775-831-3 (papel). -- ISBN 978-958-775-832-0 (digital). --
ISBN 978-958-775-833-7 (IBD)

1. Análisis numérico 2. Polinomios 3. Serie de Taylor 4. Interpolación (Matemáticas) 5. Integración numérica 6. Ecuaciones diferenciales 7. Ecuaciones diferenciales parciales I. Título II. Serie

CDD-21    519.4 /  2016

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Es un honor para el autor que se realice cualquier tipo de copia a este libro, siempre y cuando no posea carácter lucrativo (a menos que te sirva como medio para subsistir).

Tito Flórez C.

Al DIVINO CREADOR;
a mi esposa, Claudia Mercedes Salamanca; a mis hijos, Iris Andrea y Luis Esteban; a la Universidad Nacional de Colombia, con la cual siempre estaré agradecido.

Tito Flórez C.

CONTENIDO

INTRODUCCIÓN

1 POLINOMIOS, SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN

1.1 Polinomios

1.1.1 Polinomio

1.1.2 Polinomio alrededor de x0

1.1.3 Polinomios de Chebyshev

1.1.4 Polinomios de Legendre

1.2 Series de Taylor y Maclaurin

1.2.1 Series de Taylor de una variable

1.2.2 Implicación de que Taylor sea alrededor de x0

1.2.3 Error al calcular la serie de Taylor

1.2.4 Representaciones de la serie de Taylor

1.2.5 Serie de Maclaurin

1.2.6 Ejemplos de las series de Taylor y Maclaurin

1.2.7 Series de Taylor de dos variables

Ejercicios

2 POLINOMIOS INTERPOLADORES, INTERPOLACIÓN

2.1 Polinomio interpolador de Lagrange

2.1.1 Función que pasa por un punto: (x0, y0)

2.1.2 Función que tiene n raíces

2.1.3 Función que pasa por (xk, yk) y tiene n raíces

2.1.4 Suma de funciones

2.1.5 Función que pasa por n+1 puntos: (x0, y0), … (xn, yn)

2.1.6 Fenómeno de Runge

2.2 Polinomio interpolador de Newton

2.2.1 Primera forma

2.2.2 Segunda forma

2.2.3 Polinomio de grado 0

2.2.4 Polinomio de grado 1

2.2.5 Polinomio de grado 2

2.2.6 Polinomio de grado 3

2.2.7 Polinomio de grado n

2.2.8 Polinomio interpolador de Newton con nodos equiespaciados

2.3 Interpolación

2.3.1 Interpolación de Lagrange

2.3.2 Interpolación de Newton

Ejercicios

3 SISTEMAS NUMÉRICOS, REPRESENTACIÓN NUMÉRICA Y ERRORES

3.1 Sistemas numéricos

3.1.1 Pasar de base 2 a base 10

3.1.2 Pasar de base 10 a base 2

3.1.3 Pasar de base b a base 10

3.1.4 Pasar de base 10 a base b

3.1.5 Pasar de base b a base c

3.2 Representación numérica

3.2.1 Representación de números enteros

3.2.2 Representación de números reales

3.3 Errores

3.3.1 Fuentes de error

3.3.2 Definiciones

3.4 Fórmula general de errores

Ejercicios

4 DERIVADAS NUMÉRICAS

4.1 Derivadas numéricas usando el polinomio interpolador de Newton

4.1.1 Derivadas de grado 0

4.1.2 Derivadas de grado 1

4.1.3 Derivadas de grado 2

4.2 Derivadas parciales

4.2.1 Algunas derivadas parciales

4.3 Usos de las derivadas numéricas

4.4 Para derivar funciones

4.4.1 Escoger la fórmula y el Δx

4.5 Para derivar tablas

4.6 Para resolver ecuaciones diferenciales

Ejercicios

5 RAÍCES DE FUNCIONES

5.1 Fórmula para quitar raíces a f(x)

5.1.1 Raíces dobles

5.2 Método de iteración simple

5.3 Método de la bisección

5.3.1 Procedimiento

5.4 Método de Newton-Raphson (utiliza un polinomio grado 1)

5.4.1 Procedimiento

5.4.2 Deducción de la fórmula

5.4.3 Newton-Raphson para raíces complejas

5.4.4 Problemas en el empleo de Newton-Raphson

5.5 Müller (utiliza un polinomio grado 2)

5.5.1 Procedimiento

5.5.2 Deducción de la fórmula de Müller

5.5.3 Müller para raíces complejas

5.5.4 Raíces dobles, triples, etc.

5.5.5 Fallas del método de Müller

5.6 ¿Cuándo usar cada método para encontrar raíces?

Ejercicios

6 SOLUCIÓN DE ECUACIONES LINEALES

6.1 Métodos directos

6.1.1 Gauss-Jordan

6.2 Métodos iterativos

6.2.1 Método de iteración simple

6.2.2 Método de Jacobi

6.2.3 Método de Gauss-Seidel

Ejercicios

7 SISTEMA DE ECUACIONES NO LINEALES

7.1 Método de Newton

7.1.1 Usando derivadas parciales numéricas

7.2 Método de iteración simple

Ejercicios

8 INTEGRACIÓN NUMÉRICA

8.1 Cálculo de Ik

8.1.1 Cuadraturas cerradas: cuadratura de Newton-Cotes

8.1.2 Cuadraturas abiertas: cuadratura de Gauss-Legendre

8.1.3 Cálculo de la integral total

8.1.4 Reglas compuestas

8.2 Integrales dobles

Ejercicios

9 ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

9.1 Problemas de valor inicial

9.1.1 Método de series de Taylor

9.1.2 Métodos de Runge-Kutta

9.2 Problemas de valores en la frontera (de contorno)

9.2.1 Método de disparo lineal

Ejercicios

10. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Y PARCIALES DE DOS VARIABLES (DIFERENCIAS FINITAS)

10.1 Nociones básicas de diferencias finitas

10.2 Conceptos para ecuaciones diferenciales

10.3 Procedimiento para solucionar ecuaciones diferenciales ordinarias de orden n

10.4 Ecuaciones diferenciales parciales de dos variables

10.4.1 Procedimiento

10.5 De segundo orden

Ejercicios

BIBLIOGRAFÍA

ÍNDICE ANALÍTICO

INTRODUCCIÓN

El libro presenta las bases y los métodos más empleados en el campo de la ingeniería que producen respuestas muy satisfactorias. Por lo tanto, no se tratarán tópicos que, aun siendo muy conocidos, son poco usados debido a su complejidad o escasa exactitud. Tampoco se tratarán temas rebuscados que no compensen el esfuerzo computacional con la ganancia de exactitud.

El primer capítulo trata sobre polinomios dando un énfasis especial a las series de Taylor, mientras que el segundo enfatiza los polinomios interpoladores de Lagrange y Newton, además de usar estos como medio para interpolar.

El tercer capítulo trata sobre sistemas numéricos, representación numérica, errores y teoría de errores.

En los capítulos cuarto al décimo se tratan los temas de métodos numéricos propiamente dichos.

En el cuarto capítulo se ven las derivadas numéricas obtenidas a partir del polinomio interpolador de Newton, además de la obtención de derivadas parciales. Se enfatiza la necesidad de saber si la derivada es para derivar una función, una tabla o para solucionar una ecuación diferencial, ya que cada una de ellas tiene su propia característica.

El quinto capítulo trata sobre la obtención de una o más raíces de funciones. Se destacan allí los métodos de Newton-Raphson y Müller.

En el sexto capítulo se presenta el tema de la solución de ecuaciones lineales usando para ello el método directo de Gauss-Jordan y los iterativos de iteración simple, Jacobi y Gauss-Seidel, mientras que en el séptimo se trata la solución de ecuaciones no lineales.

En el octavo capítulo, sobre integración numérica, se tratan los temas de las cuadraturas cerradas de Newton-Cotes y las abiertas de Gauss-Legendre. No olvida tratar la solución de integrales dobles.

En el noveno capítulo se ve cómo solucionar ecuaciones diferenciales ordinarias de valor inicial (métodos de series de Taylor y de Runge-Kutta) y problemas de valores en la frontera (el método de disparo lineal).

El décimo capítulo se enfoca en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales de dos variables usando diferencias finitas.

Este libro, en ciertos casos, se guía por otro título del mismo autor: [1].

1

POLINOMIOS, SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN

Las series de Taylor y Maclaurin están fuertemente ligadas a los polinomios. En este capítulo centraremos nuestra atención en los polinomios, los cuales nos sirven de base para luego ver las series de Taylor y Maclaurin.

1.1 POLINOMIOS

Un polinomio es una función del tipo:

image

Donde los exponentes son enteros positivos y los ai son constantes.

Un polinomio puede ser representado de varias maneras y cada una de estas presta su respectiva utilidad según la tarea a realizar.

Es de notar que, sin importar el tipo de representación, todos los polinomios son equivalentes; es decir, si se trabaja, por ejemplo, un polinomio de grado 3, el resultado debe ser el mismo sin importar la representación que se decida usar.

En este libro vamos a ver:

1.Polinomio.

2.Polinomio alrededor de x0.

3.Polinomios de Chebyshev.

4.Polinomios de Legendre.

5.Polinomio interpolador de Lagrange.

6.Polinomio interpolador de Newton.

Los cuatro primeros se verán en este capítulo y los dos finales se verán en el siguiente.

No sería raro que muchos conozcan las tres últimas representaciones, pero que no tengan la más mínima idea de dónde salieron o si en realidad concuerdan entre sí.

Estrictamente hablando, el presente capítulo no forma parte de los métodos numéricos propiamente dichos, pero sí da claridad sobre ciertos aspectos básicos necesarios en los métodos numéricos.

Notas:
Se usará negrilla cuando se quiera enfatizar alguna operación.
Algunas veces, cuando una función sea un polinomio, en lugar de f (x) pondremos P (x)

1.1.1 Polinomio

Es la representación que el estudiante de bachillerato está acostumbrado a usar y contiene la siguiente nomenclatura:

1858.jpg para un polinomio de grado 1
1872.jpg para un polinomio de grado 2
1883.jpg para un polinomio de grado 3

Etc.

Debido a que el estudiante tiene un fuerte contacto con esta representación no daremos más detalles de ella.

1.1.2 Polinomio alrededor de x0

Tener un polinomio alrededor de un punto x0 es muy importante, en especial cuando se usa para deducir las series de Taylor, las cuales son capitales en los métodos numéricos.

Decir que:

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Es en general aceptado por el estudiantado, ya sea porque lo dice el profesor o porque está en un libro, pero realmente ¿al estudiante le consta que la ecuación anterior es verdadera?

Como es deseable que el estudiante esté seguro de que efectivamente un polinomio se puede representar alrededor del punto x0, se procederá a demostrarlo tomando primero un polinomio de grado 0, luego uno de grado 1, en seguida uno de grado 2… y después generalizando.

La anterior demostración se puede realizar también derivando sucesivamente f(x), para encontrar los valores de los diferentes ci.

1.1.2.1 Polinomio de grado 0
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1919.jpgx0 es un punto escogido sobre el eje x
1932.jpgDonde: 1946.jpg
1.1.2.2 Polinomio de grado 1
image(1.1)
image(1.2)

Restando (1.1) – (1.2):

1986.jpg
2014.jpg
(1.3)
2028.jpg
2039.jpg
(1.4)

Donde c0 = f(x); 2053.jpg

1.1.2.3 Polinomio de grado 2
image(1.5)
image(1.6)

Restando (1.5) – (1.6)

2095.jpg
(1.7)
2150.jpg
2172.jpg
(1.8)

Donde

image(1.9)

Nota: el c1 en un polinomio de grado 2 es diferente del c2 del polinomio de grado 1.

1.1.2.4 Polinomio de grado 3

Usando (1.5) y (1.6):

image(1.10)
image(1.11)

Restando (1.10) – (1.11):

image
image
image
Reemplazando de (1.7):2267.jpg
image
image(1.12)
image(1.13)

Donde: 2329.jpg

Nota: observe que los ci son diferentes a los de los polinomios de grados 2 y 1.

1.1.2.5 Polinomio de grado 4
image(1.14)
2354.jpg(1.15)

Siguiendo un procedimiento análogo al de los numerales anteriores obtenemos:

image(1.16)

Donde

image

Nota: observe que los ci son diferentes a los de los polinomios de grados 3, 2 y 1.

1.1.2.6 Polinomio de grado m

Si observamos (1.4), (1.8), (1.13) y (1.16), podemos generalizar diciendo que cualquier polinomio de grado n se puede escribir de la forma:

image

Por tratarse de polinomio, en lugar de f(x) usaremos P(x)

image(1.17)
image(1.18)
Ejemplo 1.1

Se tiene el polinomio2437.jpg.

a. Calcular f(3)

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b. Calcular f(3) alrededor del punto x0 = 2.

De (1.8) y (1.9):

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Que lógicamente debe coincidir con la respuesta del numeral a.

1.1.3 Polinomios de Chebyshev

El polinomio de grado n se representa por Tn(x) —la T es por Tchebychef, otra de las formas de transliterar este apellido—. Como sabemos que el polinomio es función de x, pondremos solamente Tn y diremos que está dado por

image(1.19)

Y aun cuando no parezca ser un polinomio, sí lo es. Si se expresa como polinomio, está representado por la fórmula recursiva (no se demostrará):

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Donde:

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Por lo tanto, si deseamos conocer el polinomio de grado 2, esté será:

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Comprobemos para un valor de x = 0.6 (recuerde que –1 ≤ x ≤ 1).

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Respuestas iguales, como era de esperar.

En la figura 1.1 se observa el polinomio de grado 5 T5(x) en línea continua.

La línea cortada corresponde al ángulo n arccos(x) = 5 arccos(x).

Los cinco círculos pequeños sobre el eje x son las cinco raíces del polinomio T5(x) = cos(5 arccos(x)).

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FIGURA 1.1

1.1.3.1 Nodos de Chebyshev entre [–1, 1]

La ecuación (1.19) no dice:

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Este polinomio de grado n tiene n raíces, y llamaremos tk a la raíz k-ésima.

Si tratamos de calcular dichas raíces usando la figura 1.1, tal vez nos cueste un poco.

Una forma mnemotécnica de recordar su fórmula es hacer la gráfica de

cos(nθ)0 ≤ θ ≤ π n: grado del polinomio = número de raíces

Y determinar sus raíces (puntos donde corta al eje θ) (figura 1.2).

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FIGURA 1.2

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Este ángulo θraíz_k es el que nos sirve para sacar el coseno:

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image(1.20)

Estas raíces tk se llaman nodos de Chebyshev.

Como se verá más adelante (ver 2.1, “Polinomio interpolador de Lagrange”), para construir un polinomio interpolador de grado n necesitamos n + 1 puntos (un punto por nodo), por lo que usaremos el polinomio de Chebyshev Tn + 1 para obtener n + 1 nodos de Chebyshev.

Por lo tanto, (1.20) para Tn + 1 se transforma en

image(1.21)
1.1.3.2 Nodos de Chebyshev entre [a, b]

Para pasar de intervalo [–1, 1] → [a, b] nos apoyamos en la figura 1.3 y hacemos unas pequeñas relaciones:

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FIGURA 1.3

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Reemplazando tk de (1.21), los nodos de interpolación de Chebyshev entre [a, b] quedan:

image(1.22)

1.1.4 Polinomios de Legendre

Son muy importantes en la física y, al igual que los polinomios de Chebyshev, se pueden expresar de varias maneras. La forma recursiva es, tal vez, una de las más sencillas de recordar.

Como sabemos que el polinomio P(x) es función de x, para no sobrecargarnos de caracteres omitimos el (x). Así, para el polinomio de grado n su representación es:

image(1.23)

Donde P0 y P1 corresponden a los mismos de Chebyshev:

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Por lo tanto, si se desea el polinomio de grado 2:

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El de grado 3:

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El de grado 4:

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El de grado 5:

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Etc.

1.1.4.1 Nodos de Legendre entre [–1, 1]

Más que el polinomio en sí, aquí nos importan las raíces del polinomio de grado n, a las que en este libro llamaremos nodos de Legendre y que representaremos como:

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Los cuales se pueden calcular como sigue:

Para

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3143.jpgHay una raíz obvia en x = 0

Para polinomios de grado más alto se puede usar un programa que encuentre las raíces de las ecuaciones, tal como Free Equation Calculator Online u otro similar.

Así, las raíces para los polinomios hasta de grado 5 se detallan en la tabla 1.1.

TABLA 1.1 Raíces tk de los polinomios de Legendre

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Observe que las raíces son simétricas.

Se da hasta P5(x), que para nuestros propósitos es suficiente.

1.1.4.2 Nodos de Legendre entre [a, b]

Al igual que lo hecho para los nodos de Chebyshev, para pasar de intervalo [–1, 1] → [a,b] nos ayudamos de la figura 1.4 y establecemos unas pequeñas relaciones:

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FIGURA 1.4

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image(1.24)

Concentrándonos en las raíces los nodos de Legendre entre [a, b] quedan:

image(1.25)

Donde n: grado del polinomio de Legendre.

Debido a que vamos a usar estos nodos en el capítulo de integrales, aprovechamos el momento para decir que al pasar de

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De (1.24) se obtiene que:

image(1.26)

1.2 SERIES DE TAYLOR Y MACLAURIN

Las series de Taylor fueron desarrolladas en el siglo XVIII por Brook Taylor y están entre las más importantes conocidas.

Actualmente, tal vez debido al uso masivo de las calculadoras, se ha perdido la admiración hacia dichas series.

Para imaginarnos cuán importantes son debemos imaginarnos que no existen ni calculadoras, ni computadoras ni tablas. Ahora preguntémonos: ¿Cómo hacemos para saber ln(57), sen(27), 6.72.3, e2.9, 3369.jpg, etc. …?

O también nos podemos preguntar: ¿Cómo hacen las calculadoras y los computadores para conocer los valores anteriores?

Por lo tanto, siempre que oiga “series de Taylor” suponga que está viviendo siglos atrás, cuando no existían calculadoras ni computadores, ni tablas de las funciones trigonométricas, etc. No tiene mucho sentido hablar de series de Taylor cuando se tiene una calculadora científica al lado. Recuerde: solamente puede usar las operaciones básicas: suma, resta, multiplicación y división.

1.2.1 Series de Taylor de una variable

En las figuras de abajo (1.5, 1.6 y 1.7) se muestra una función f (x) = sen(x), por la que se hacen pasar polinomios de grado 1, 2 y 4 por puntos cercanos a x0 = 1. Se observa que entre mayor sea el grado del polinomio, más trata este de calcar a f (x). No es difícil concluir que un polinomio de grado infinito calcará perfectamente a f (x). Lo anterior, en general, se puede aplicar a cualquier función f (x) y en cualquier x0.

Al observar atentamente la figura 1.5 nos damos cuenta de que la recta en cuestión pasa por dos puntos muy cercanos entre sí (x0 y x0 + Δx). Si Δx 0, ya no se estará hablando de dos puntos sino de un solo punto: x0, y ya no se estará hablando de una recta que pasa por dos puntos, sino de la derivada (recta) en x0. Aun cuando no se ve de forma inmediata, algo análogo se puede plantear con respecto a las figuras 1.6 y 1.7.

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FIGURA 1.5

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FIGURA 1.6

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FIGURA 1.7

No es difícil deducir que entre mayor sea el grado del polinomio que se haga pasar por f (x) más se acercará a f (x). También se puede deducir que si el polinomio tiene un grado infinito, será exactamente igual a f (x).

Por lo tanto,

f (x) = P (x)cuando P (x) es un polinomio de grado infinito.

Usando la ecuación (1.17) se puede escribir que

3393.jpg
(1.27)

Donde 3409.jpg

Pero para conocer el polinomio necesitamos saber sus constantes, las cuales se pueden calcular derivando:

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Al calcular f k(x) en x = x0 se anulan todos los términos excepto el primero.

Por lo tanto,

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Reemplazando en (1.27):

image(1.28)
image(1.29)

Donde: f 0 (x0) = f (x0)

La anterior serie la llamaremos “serie de Taylor de f alrededor de x0”.

1.2.2 Implicación de que Taylor sea alrededor de x0

El hecho de que la serie de Taylor sea alrededor de x0 implica que en ese punto conocido se deben conocer también la función y todas sus derivadas. Si no se conoce todo ello, no sirve como x0. Por lo tanto:

Si se desea pasar por ln(x) el polinomio de Taylor, usted debe ubicar un punto x0 en el cual conozca el ln y todas sus derivadas. ¿Conoce el ln(3)o el ln(4)o el ln(325)? (Acuérdese: ¡No tiene calculadora!). Es difícil que conozca alguno de ellos → ni 3 ni 4 ni 325 pueden ser x0. Trate de recordar un número del cual conozca el ln. Si no se acuerda o no existe, no puede hacer pasar el polinomio. ¿Qué tal ln(0) o ln(1)?

Recuerde que ln(0) = −∞ → no sirve el 0.

Si desea pasar por sin(x) el polinomio de Taylor (x debe estar en radianes), usted debe ubicar un punto en el cual conozca el sin y todas sus derivadas. ¿Conoce el sin(3)o el sin(4)o el sin(325)? (Acuérdese: ¡No tiene calculadora!). Es difícil que conozca alguno de ellos → ni 3 ni 4 ni 325 pueden ser x0. Trate de recordar un número del cual conozca el sin. Si no se acuerda o no existe, no puede hacer pasar el polinomio. ¿Qué tal sin(0) o sin(π/2) o sin(π) o sin(2π) o sin(4π) o sin(100π) o sin(2nπ)?

Recuerde que sin(0) = 0 → puede que 0 sirva como x0. ¿Conoce o puede calcular todas las derivadas de sin(x) evaluadas en 0 (cos(0), −sin(0), …)? Si la respuesta es afirmativa, 0 puede servir como x0. El hecho de que usted haya encontrado que 0 le puede servir no significa que no exista otro número con el cual se pueda trabajar.

Si desea pasar por ex el polinomio de Taylor, usted debe ubicar un punto en el cual conozca ex y todas sus derivadas. ¿Conoce e4, e6.5, e4 o e145? (Acuérdese: ¡No tiene calculadora!). Es difícil que conozca alguno de ellos → ni 4 ni 6.5 ni 145 pueden ser x0. Trate de recordar un número del cual conozca ex. Si no se acuerda o no existe, no puede hacer pasar el polinomio. ¿Qué tal e0?

Recuerde que e0 = 1 → puede que 0 sirva como x0. ¿Conoce o puede calcular todas las derivadas de ex evaluadas en 0 (e0 = 1, e0 = 1, etc.)? Si la respuesta es afirmativa, 0 puede servir como x0. El hecho de que usted haya encontrado que 0 le puede servir no significa que no exista otro número con el cual se pueda trabajar.

1.2.3 Error al calcular la serie de Taylor

Obviamente, no se puede calcular el polinomio hasta el término infinito, por lo que se debe parar en algún término m, de modo que (1.28) queda:

image

Ese resto es la suma de los términos mayores de m